Guten Morgen. Wir hatten ja den Satz von Taylor schon aufgeschrieben.

Ich wiederhole ihn nochmal im mehrdimensionalen Fall.

Bei dem Satz von Taylor berechnet man ja zu einer regulären Funktion eine Approximation

durch einen Polynom und das Polynom schmiegt sich dann in dem Entwicklungspunkt an die

Funktion an, in dem Sinne, dass viele Ableitungen übereinstimmen, also der Funktionswert, die

erste Ableitung, die zweite Ableitung, je nach Grad des Taylor Polynoms.

Und im mehrdimensionalen hat man ja nicht nur eine erste Ableitung, sondern eben einen Gradienten,

wo die partiellen Ableitungen drinstehen und bei der zweiten Ableitung hat man auch nicht

nur eine, sondern eben eine ganze Funktionalmatrix, wo die df nach dxj, dxk drinstehen und so

geht es weiter.

Aber durch geschickte Notationen sieht jetzt tatsächlich die Gleichung aus wie im eindimensionalen,

also f von x will man approximieren, dann nimmt man die Summe über Alphas 1 durch Alpha-Fakultät

und dann kommen die Ableitungen dAlpha von f an der Stelle x0 mal x minus x0 hoch Alpha.

Also wenn das Alpha jetzt eine natürliche Zahl ist, dann sind sie im eindimensionalen

Fall, da kennen sie das schon, aber hier ist das Alpha ein Multiindex, das sagt, wie oft

sie nach den Komponenten ableiten, also wie oft sie nach der ersten ableiten, wie oft

nach der zweiten und wie oft nach der letzten, deshalb ist das Alpha im n hoch n, also jede

Komponente ist da eine natürliche Zahl.

Und damit die Gleichung stimmt, kommt hier noch das Restglied dazu, also this ist einfach

der Fehler, den man hier macht und der Witz ist, den Fehler kann man auch so ähnlich darstellen

und zwar mit Ableitungen der Ordnung p plus 1, also diese Summe geht ja für Alphas, die

die vom Betrag her kleiner gleich P sind.

Also da stehen nur Ableitungen der Ordnung maximal P drin.

Und bei diesem Restglied hat man jetzt P plus erste Ableitungen.

Das war ja immer die Konvergenzvoraussetzung in dieser Tälerentwicklung, dass man einmal

mehr ableiten kann als die Ableitungen, die man für das Tälerpolynom selbst braucht.

Also für das Restglied, damit der Fehler noch gegen Null geht, braucht man eine Ableitung mehr.

Da hat man nämlich die Summe über alle Alpha-Betrag gleich P plus 1.

Also das sind dann die P plus ersten Ableitungen.

Und dann sieht es ähnlich aus.

Das 1 durch Alpha-Fakultät, dann kommt so eine Ableitung.

Und der Witz ist, diese Ableitung betrachtet man jetzt nicht in dem Punkt x Null selbst,

sondern in einer Zwischenstelle, die zwischen x Null und dem Punkt x liegt.

Die kann man dann schreiben als x Null plus Teta mal x minus x Null.

Und dann kommt x minus x Null hoch Alpha.

Also dieser Punkt hier liegt auf der Verbindungsstrecke zwischen x und x Null.

Das Teta ist deshalb aus dem offenen Intervall von Null bis Eins.

Strategie bei dem Beweis des Satzes ist jetzt, das auf den eindimensionalen Taylor-Satz zurückzuführen.

Und dazu betrachtet man eine eindimensionale Hilfsfunktion und zwar genau auf dieser Verbindungsstrecke zwischen x und x0.

Also hier ist das x0, dann ist da x, auch ein Punkt und dann läuft man hier so entlang.

Wir definieren y gleich x minus x0 und die Hilfsfunktion, die man betrachtet, ist dann

g von t gleich f an der Stelle x0 plus t mal y.

Also g von 0 ist f von x0 und g von 1 ist f von x.

Und für diese Hilfsfunktion haben wir schon die Ableitungen ausgerechnet, die ist dann

auch p mal differenzierbar und die Ableitungen muss man mit der mehrdimensionalen Kettenregel

ausrechnen und das haben wir schon gemacht.

Da kam dann raus 1 durch k Fakultät, Karte Ableitung von g an der Stelle t ist gleich

Summe, Alpha Betrag gleich k, 1 durch Alpha Fakultät, y hoch Alpha d Alpha f an der Stelle

x0 plus t mal y.

Das hatten wir ausgerechnet und da kam noch dieser Multinomial Satz ins Spiel, aber den